均值方差优化

一般来说，数学优化是一个非常困难的问题，特别是当我们处理复杂的目标和约束条件时。然而，凸式优化问题是一类被深入研究过的问题，正好被金融所用。凸问题有以下形式：

\[\begin{split}\begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{\mathbf{x}}{\text{minimise}} & & f(\mathbf{x}) \\ & \text{subject to} & & g_i(\mathbf{x}) \leq 0, i = 1, \ldots, m\\ &&& A\mathbf{x} = b,\\ \end{aligned} \end{equation*}\end{split}\]

其中 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) ，并且 \(f(\mathbf{x}), g_i(\mathbf{x})\) 是凸函数。 [1]

幸运的是，投资组合优化问题（具有标准目标和约束）是凸的。这使得我们可以立即应用大量的理论以及精炼的求解程序。相应地，主要的困难是将我们的具体问题输入求解器。

PyPortfolioOpt 承担这项困难的工作，允许像 ef.min_volatility() 这样的单行代码来生成一个最小化波动率的投资组合，同时允许从中派生更复杂的问题。这一切都要归功于 cvxpy ，它是一个很棒的 python 凸优化建模库，PyPortfolioOpt 的有效前沿功能正是基于它。

小技巧

你可以在相关 cookbook 中找到完整的例子。

结构

如凸问题的定义所示，我们基本上需要指定两件事：优化目标和优化约束。例如，经典的投资组合优化问题是，在收益约束条件下使风险最小化（即投资组合的收益必须超过某一数额）。然而，从实施的角度来看，优化目标和约束条件之间并没有太大的区别。考虑一个类似的问题，在风险约束下实现收益最大化，这时风险和收益的角色与上面的相比，进行了交换。

为此，PyPortfolioOpt 定义了一个 objective_functions 模块，其中包含目标函数（正如我们刚才看到的，它也可以作为约束条件）。实际的优化发生在 efficient_frontier.EfficientFrontier 类中。这个类为优化不同的目标提供了直接的方法（下面都有说明）。

PyPortfolioOpt 的设计使你可以很容易地在现有问题上添加新的约束或目标项。例如，在最小波动率目标中增加一个正则化目标（下文有解释）就很简单:

ef = EfficientFrontier(expected_returns, cov_matrix)  # 初始化
ef.add_objective(objective_functions.L2_reg)  # 添加第二个目标函数
ef.min_volatility()  # 寻找最小化波动率和 L2_reg 的投资组合

小技巧

如果想绘制有效前沿，请看一下绘图模块。

基本用法

efficient_frontier 模块包含 EfficientFrontier 类和它的子类，它们为各种可能的目标函数和参数生成最优投资组合。

class pypfopt.efficient_frontier.EfficientFrontier(expected_returns, cov_matrix, weight_bounds=(0, 1), solver=None, verbose=False, solver_options=None)[源代码]

一个 EfficientFrontier 对象（继承自 BaseConvexOptimizer）包含多个优化方法，可以用不同的参数调用（对应不同的目标函数）。注意：如果要对目标/约束条件/边界/参数做任何改变，应该实例化一个新的 EfficientFrontier 对象。

可用变量:

Inputs:
- n_assets - int
- tickers - str list
- bounds - float tuple 或 (float tuple) list
- cov_matrix - np.ndarray
- expected_returns - np.ndarray
- solver - str
- solver_options - {str: str} dict
Output: weights - np.ndarray

Public methods:

min_volatility() 优化最小波动率
max_sharpe() 对最大夏普比率进行优化（又称切线组合）
max_quadratic_utility() 在一定的风险规避条件下，使二次效用最大化。
efficient_risk() 在给定的目标风险下，使收益最大
efficient_return() 在给定的目标收益下，使风险最小
add_objective() 为优化问题添加一个（凸）目标
add_constraint() 给优化问题添加一个约束条件
convex_objective() 解决一个带有线性约束的通用凸目标
portfolio_performance() 计算优化组合的期望收益率、波动率和夏普比率。
set_weights() 从一个权重字典中创建 self.weights (np.ndarray)
clean_weights() 对权重进行四舍五入，并将接近零值的部分删除。
save_weights_to_file() 将权重保存为 csv、json 或 txt 格式。

__init__(expected_returns, cov_matrix, weight_bounds=(0, 1), solver=None, verbose=False, solver_options=None)[源代码]

参数:

expected_returns (pd.Series, list, np.ndarray) – expected returns for each asset. Can be None if optimising for volatility only (but not recommended).
cov_matrix (pd.DataFrame or np.array) – covariance of returns for each asset. This must be positive semidefinite, otherwise optimization will fail.
weight_bounds (tuple OR tuple list, optional) – minimum and maximum weight of each asset OR single min/max pair if all identical, defaults to (0, 1). Must be changed to (-1, 1) for portfolios with shorting.
solver (str) – name of solver. list available solvers with: cvxpy.installed_solvers()
verbose (bool, optional) – whether performance and debugging info should be printed, defaults to False
solver_options (dict, optional) – parameters for the given solver

抛出:

TypeError – if expected_returns is not a series, list or array
TypeError – if cov_matrix is not a dataframe or array

备注

从 v0.5.0 开始，可以传递一个 (min, max) 对的集合（list 或 tuple），代表不同资产的不同界限。

小技巧

如果想产生只做空头的投资组合，有一个快速的解决方法。将期望收益乘以 -1，然后优化一个只做多的投资组合。

min_volatility()[源代码]

最小化波动率。

返回:: asset weights for the volatility-minimising portfolio
返回类型:: OrderedDict

max_sharpe(risk_free_rate=0.02)[源代码]

最大化夏普比率。这个结果也被称为切线组合，因为它是资本市场线与有效前沿相切的组合。这是一个进行了一定的变量替换后的凸优化问题。详见 Cornuejols and Tutuncu (2006) 。

参数:: risk_free_rate (float, optional) – risk-free rate of borrowing/lending, defaults to 0.02. The period of the risk-free rate should correspond to the frequency of expected returns.
抛出:: ValueError – if risk_free_rate is non-numeric
返回:: asset weights for the Sharpe-maximising portfolio
返回类型:: OrderedDict

小心

因为 max_sharpe() 做了一个变量替换，额外的目标可能无法按预期工作。

max_quadratic_utility(risk_aversion=1, market_neutral=False)[源代码]

使给定的二次方效用最大化，即：

\[\max_w w^T \mu - \frac \delta 2 w^T \Sigma w\]

参数:

risk_aversion (positive float) – risk aversion parameter (must be greater than 0), defaults to 1
market_neutral – whether the portfolio should be market neutral (weights sum to zero), defaults to False. Requires negative lower weight bound.
market_neutral – bool, optional

返回:

asset weights for the maximum-utility portfolio

返回类型:

OrderedDict

备注

pypfopt.black_litterman 提供了一种计算市场隐含风险偏好参数的方法，在没有其他信息的情况下，它可以提供一个有用的估计值。

efficient_risk(target_volatility, market_neutral=False)[源代码]

在目标风险下实现收益最大化。由此产生的投资组合的波动率将小于目标值（但不保证相等）。

参数:

target_volatility (float) – the desired maximum volatility of the resulting portfolio.
market_neutral – whether the portfolio should be market neutral (weights sum to zero), defaults to False. Requires negative lower weight bound.
market_neutral – bool, optional

抛出:

ValueError – if target_volatility is not a positive float
ValueError – if no portfolio can be found with volatility equal to target_volatility
ValueError – if risk_free_rate is non-numeric

返回:

asset weights for the efficient risk portfolio

返回类型:

OrderedDict

小心

如果你在 efficient_risk() 或 efficient_return() 中传递了一个不合理的目标，优化器将无声地失败，并返回奇怪的权重。谨慎使用！

efficient_return(target_return, market_neutral=False)[源代码]

计算“马科维茨投资组合”，在给定的目标收益下，使波动率最小。

参数:

target_return (float) – the desired return of the resulting portfolio.
market_neutral (bool, optional) – whether the portfolio should be market neutral (weights sum to zero), defaults to False. Requires negative lower weight bound.

抛出:

ValueError – if target_return is not a positive float
ValueError – if no portfolio can be found with return equal to target_return

返回:

asset weights for the Markowitz portfolio

返回类型:

OrderedDict

portfolio_performance(verbose=False, risk_free_rate=0.02)[源代码]

优化后，计算（并可选择打印）最优投资组合的表现。目前计算的是期望收益率、波动率和夏普比率。

参数:

verbose (bool, optional) – whether performance should be printed, defaults to False
risk_free_rate (float, optional) – risk-free rate of borrowing/lending, defaults to 0.02. The period of the risk-free rate should correspond to the frequency of expected returns.

抛出:

ValueError – if weights have not been calculated yet

返回:

expected return, volatility, Sharpe ratio.

返回类型:

(float, float, float)

小技巧

如果想独立于任何优化器使用 portfolio_performance 函数（例如用于调试），可以使用:

from pypfopt import base_optimizer

base_optimizer.portfolio_performance(
    weights, expected_returns, cov_matrix, verbose=True, risk_free_rate=0.02
)

备注

PyPortfolioOpt 默认选择 cvxpy 的求解器。如果你想明确地选择求解器，只需将可选的 solver = "ECOS" kwargs 传递给构造函数。你可以从支持的求解器中选择，并通过 solver_options``（一个 ``dict）传入求解器参数。

添加目标和约束

EfficientFrontier 继承自 BaseConvexOptimizer 类。添加约束条件和目标的函数文档如下：

class pypfopt.base_optimizer.BaseConvexOptimizer

BaseConvexOptimizer.add_constraint(new_constraint)

在优化问题中加入一个新的约束条件。这个约束必须满足 DCP 规则，即要么是一个线性平等约束，要么是凸不平等约束。

例如:

ef.add_constraint(lambda x : x[0] == 0.02)
ef.add_constraint(lambda x : x >= 0.01)
ef.add_constraint(lambda x: x <= np.array([0.01, 0.08, ..., 0.5]))

参数:: new_constraint (callable (e.g lambda function)) – the constraint to be added

BaseConvexOptimizer.add_sector_constraints(sector_mapper, sector_lower, sector_upper)

对不同资产组的权重总和添加限制。最常见的是行业限制，例如，投资组合中的科技风险必须低于 x%:

sector_mapper = {
    "GOOG": "tech",
    "FB": "tech",,
    "XOM": "Oil/Gas",
    "RRC": "Oil/Gas",
    "MA": "Financials",
    "JPM": "Financials",
}

sector_lower = {"tech": 0.1}  # at least 10% to tech
sector_upper = {
    "tech": 0.4, # less than 40% tech
    "Oil/Gas": 0.1 # less than 10% oil and gas
}

参数:

sector_mapper ({str: str} dict) – dict that maps tickers to sectors
sector_lower ({str: float} dict) – lower bounds for each sector
sector_upper ({str:float} dict) – upper bounds for each sector

BaseConvexOptimizer.add_objective(new_objective, **kwargs)

在目标函数中添加一个新项。这个项必须是凸的，并由 cvxpy 原子函数构建。

例如:

def L1_norm(w, k=1):
    return k * cp.norm(w, 1)

ef.add_objective(L1_norm, k=2)

参数:: new_objective (cp.Expression (i.e function of cp.Variable)) – the objective to be added

目标函数

objective_functions 模块提供优化目标，包括 EfficientFrontier 对象的优化方法所调用的实际目标函数。这些方法主要是为优化过程中的内部使用而设计的，每个方法都需要不同的参数（这就是为什么它们没有被归入一个类的原因）。由于显而易见的原因，任何目标函数都必须接受 weights 作为参数，并且必须至少有 expected_returns 或 cov_matrix 中的一个。

目标函数要么计算给定权重的 numpy 数组的目标，要么当权重是 cp.Variable 时，它返回一个 cvxpy 表达式。这样一来，同一个目标函数既可以在内部用于优化，也可以在外部用于计算给定权重的目标。 _objective_value() 会自动在这两种行为之间选择。

objective_functions 默认为用于最小化的优化。在明显应该最大化的目标的情况下（例如夏普比率，投资组合收益），目标函数实际上返回负数，因为最小化负数等同于最大化正数。这种行为可由 negative=True 的可选参数控制。

目前已经实现：

投资组合方差（即波动率的平方）。
投资组合收益率
夏普比率
L2 正则化（最小化它可以减少非零权重）。
二次方效用
交易成本模型（简单的模型）
事前（平方）跟踪误差
事后（平方）跟踪误差

pypfopt.objective_functions.L2_reg(w, gamma=1)[源代码]

L2 正则化，即 \(\gamma ||w||^2\) ，来增加非零权重的数量。

例如:

ef = EfficientFrontier(mu, S)
ef.add_objective(objective_functions.L2_reg, gamma=2)
ef.min_volatility()

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
gamma (float, optional) – L2 regularisation parameter, defaults to 1. Increase if you want more non-negligible weights

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.ex_ante_tracking_error(w, cov_matrix, benchmark_weights)[源代码]

计算事前跟踪误差的（平方），即 \((w - w_b)^T \Sigma (w-w_b)\) 。

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
cov_matrix (np.ndarray) – covariance matrix
benchmark_weights (np.ndarray) – asset weights in the benchmark

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.ex_post_tracking_error(w, historic_returns, benchmark_returns)[源代码]

计算事后跟踪误差的（平方），即 \(Var(r - r_b)\) 。

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
historic_returns (np.ndarray) – historic asset returns
benchmark_returns (pd.Series or np.ndarray) – historic benchmark returns

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.portfolio_return(w, expected_returns, negative=True)[源代码]

计算一个投资组合的（负）平均收益率

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
expected_returns (np.ndarray) – expected return of each asset
negative (boolean) – whether quantity should be made negative (so we can minimise)

返回:

negative mean return

返回类型:

float

pypfopt.objective_functions.portfolio_variance(w, cov_matrix)[源代码]

计算投资组合的总方差（即平方波动率）。

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
cov_matrix (np.ndarray) – covariance matrix

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.quadratic_utility(w, expected_returns, cov_matrix, risk_aversion, negative=True)[源代码]

二次方效用函数，即 \(\mu - \frac 1 2 \delta w^T \Sigma w\) 。

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
expected_returns (np.ndarray) – expected return of each asset
cov_matrix (np.ndarray) – covariance matrix
risk_aversion (float) – risk aversion coefficient. Increase to reduce risk.
negative (boolean) – whether quantity should be made negative (so we can minimise).

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.sharpe_ratio(w, expected_returns, cov_matrix, risk_free_rate=0.02, negative=True)[源代码]

计算一个投资组合的（负）夏普比率

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
expected_returns (np.ndarray) – expected return of each asset
cov_matrix (np.ndarray) – covariance matrix
risk_free_rate (float, optional) – risk-free rate of borrowing/lending, defaults to 0.02. The period of the risk-free rate should correspond to the frequency of expected returns.
negative (boolean) – whether quantity should be made negative (so we can minimise)

返回:

(negative) Sharpe ratio

返回类型:

float

pypfopt.objective_functions.transaction_cost(w, w_prev, k=0.001)[源代码]

一个非常简单的交易成本模型：将所有的权重变化相加，再乘以一个给定的分数（默认为 10bps）。这模拟了经纪人的固定百分比佣金。

参数:

w (np.ndarray OR cp.Variable) – asset weights in the portfolio
w_prev (np.ndarray) – previous weights
k (float) – fractional cost per unit weight exchanged

返回:

value of the objective function OR objective function expression

返回类型:

float OR cp.Expression

均值方差优化

结构

基本用法

添加目标和约束

目标函数

更多关于 L2 正则化的内容

参考文献