帕龙-弗罗贝尼乌斯矩阵补全

DGP原子库包含了几个正矩阵的函数，包括迹、乘积、和、帕龙-弗罗贝尼乌斯特征值和 :math:`(I - X)^{-1}`（单位矩阵减逆矩阵）。在这个笔记本中，我们使用其中一些原子来制定和解决一个有趣的矩阵补全问题。

在这个问题中，我们已知一个逐元素正的矩阵 \(A\) 的一些条目，目标是选择缺失的条目以使帕龙-弗罗贝尼乌斯特征值或谱半径最小化。设 \(\Omega\) 为 \(A_{ij}\) 已知的索引 \((i, j)\) 的集合，优化问题为

\[\begin{split}\begin{equation} \begin{array}{ll} \mbox{minimize} & \lambda_{\text{pf}}(X) \\ \mbox{subject to} & \prod_{(i, j) \not\in \Omega} X_{ij} = 1 \\ & X_{ij} = A_{ij}, \, (i, j) \in \Omega, \end{array} \end{equation}\end{split}\]

这是一个对数-对数凸规划问题。下面是这个问题的一个实现，具体问题数据如下：

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} 1.0 & ? & 1.9 \\ ? & 0.8 & ? \\ 3.2 & 5.9& ? \end{bmatrix},\end{split}\]

其中问号表示缺失的条目。

import cvxpy as cp

n = 3
known_value_indices = tuple(zip(*[[0, 0], [0, 2], [1, 1], [2, 0], [2, 1]]))
known_values = [1.0, 1.9, 0.8, 3.2, 5.9]
X = cp.Variable((n, n), pos=True)
objective_fn = cp.pf_eigenvalue(X)
constraints = [
  X[known_value_indices] == known_values,
  X[0, 1] * X[1, 0] * X[1, 2] * X[2, 2] == 1.0,
]
problem = cp.Problem(cp.Minimize(objective_fn), constraints)
problem.solve(gp=True)
print("Optimal value: ", problem.value)
print("X:\n", X.value)

Optimal value:  4.702374203221372
X:
 [[1.         4.63616907 1.9       ]
 [0.49991744 0.8        0.37774148]
 [3.2        5.9        1.14221476]]